Question

【題目】設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，f（0）=2，對任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，則不等式exf（x）＞ex+1的解集為（ ）
A.（0，+∞）
B.（﹣∞，0）
C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：令g（x）=exf（x）﹣ex ，
則g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex ，
∵對任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，
∴g′（x）=ex[f（x）+f′（x）﹣1]＞0，
∴函數(shù)y=g（x）在R上單調(diào)遞增．
∵f（0）=2，
∴g（0）=1．
∴當x＜0時，g（x）＜1；
當x＞0時，g（x）＞1．
∵exf（x）＞ex+1，
∴exf（x）﹣ex＞1，
即g（x）＞1，
∴x＞0．
故選A．
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．