Question

【題目】已知函數f（x）= ．
（1）當a=b=1時，求滿足f（x）=3x的x的值；
（2）若函數f（x）是定義在R上的奇函數，
①判斷f（x）在R的單調性并用定義法證明；
②當x≠0時，函數g（x）滿足f（x）[g（x）+2]= （3﹣x﹣3x），若對任意x∈R且x≠0，不等式g（2x）≥mg（x）﹣11恒成立，求實數m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=b=1時，f（x）= ．

若f（x）=3x，即3（3x）2+23x﹣1=0，

解得：3x= ，或3x=﹣1（舍去），

∴x=﹣1；

（2）解：若函數f（x）是定義在R上的奇函數，

則f（﹣x）=﹣f（x），即 = ，

即（3a﹣b）（3x+3﹣x）+2ab﹣6=0，

解得： ，或 ，

經檢驗， 滿足函數的定義域為R，

∴f（x）= = ．

①f（x）在R上單調遞減，理由如下：

∵任取x1＜x2，

則 ， ，

則f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ＞0，

即f（x1）＞f（x2）

∴f（x）在R上是減函數；

②∵當x≠0時，函數g（x）滿足f（x）[g（x）+2]= （3﹣x﹣3x），

∴g（x）=3x+3﹣x，（x≠0），

則g（2x）=32x+3﹣2x=（3x+3﹣x）2﹣2，

不等式g（2x）≥mg（x）﹣11恒成立，

即（3x+3﹣x）2﹣2≥m（3x+3﹣x）﹣11恒成立，

即m≤（3x+3﹣x）+ 恒成立，

僅t=3x+3﹣x，則t＞2，

即m≤t+ ，t＞2恒成立，

由對勾函數的圖象和性質可得：當t=3時，t+ 取最小值6，

故m≤6，

即實數m的最大值為6．=

【解析】1、由題意可得，當a=b=1時可將方程轉化為關于3x 的一元二次方程再由指數函數的自身的范圍3x >0, 即得x=-1.
2、先根據函數的奇偶性確定a、b的值：a=1 b=3再利用函數的單調性定義確定其單調性：在R上遞減。最后根據單調性轉化不等式 f(t2-2t)<f(2t2 -k)為t2 -2t>2t2-k即t2 +2t-k <0在R上有解，根據判別式大于零可得k的取值范圍。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對函數的奇偶性的理解，了解偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．