Question

函數(shù)f（x）=cos2x+sin（

π

2

-x）是（　　）

A．非奇非偶函數(shù)

B．僅有最小值的奇函數(shù)

C．僅有最大值的偶函數(shù)

D．既有最大值又有最小值的偶函數(shù)

Answer 1

分析：根據(jù)誘導公式化簡得f（x）=cos2x+cosx，可得f（-x）=f（x），函數(shù)是偶函數(shù)．再化簡得f（x）=2cos²x+cosx-1，可得當cosx=-

1

4

時函數(shù)有最小值且cosx=1時函數(shù)有最大值，由此可得答案．

解答：解：根據(jù)誘導公式，得sin（

π

2

-x）=cosx
∴函數(shù)f（x）=cos2x+sin（

π

2

-x）=cos2x+cosx
f（-x）=cos（-2x）+cos（-x）=cos2x+cosx=f（x）
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)
又∵f（x）=cos2x+cosx=2cos²x+cosx-1
∴當cosx=-

1

4

時，函數(shù)有最小值-

9

8

；當cosx=1時，函數(shù)有最大值2
綜上所述，函數(shù)f（x）是既有最大值又有最小值的偶函數(shù)
故選：D

點評：本題給出三角函數(shù)的表達式，判斷函數(shù)的奇偶性并求函數(shù)的最值．著重考查了三角函數(shù)的奇偶性判斷和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值等知識，屬于中檔題．