Question

【題目】如圖，在正方形中，分別是的中點，將正方形沿著線段折起，使得，設為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）利用線面垂直的判定定理，證得⊥平面，從而得到，再利用等邊三角形的特征，得到，之后利用線面垂直的判定定理證得平面；

（2）利用兩兩垂直，建立空間直角坐標系，設，寫出相應點的坐標，求得兩個平面的法向量，之后求出兩個法向量所成角的余弦值，進而得到二面角的余弦值.

（1）∵分別為正方形的邊的中點，

∴

又平面，平面，，∴⊥平面，

∵平面，∴，

∵，，∴是等邊三角形，

∵為的中點.， ∴.

又，面面，，∴平面.

（2）設中點為，連結，則兩兩垂直，不妨設.

以為原點，以為坐標軸建立空間直角坐標系如圖：

則，，.，.

∴，，

設平面的法向量為，

則，令，得

而為平面的一個法向量

∴

二面角的余弦值為.