Question

【題目】如圖，在正方形中，分別是的中點(diǎn)，將正方形沿著線段折起，使得，設(shè)為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）利用線面垂直的判定定理，證得⊥平面，從而得到，再利用等邊三角形的特征，得到，之后利用線面垂直的判定定理證得平面；

（2）利用兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求得兩個平面的法向量，之后求出兩個法向量所成角的余弦值，進(jìn)而得到二面角的余弦值.

（1）∵分別為正方形的邊的中點(diǎn)，

∴

又平面，平面，，∴⊥平面，

∵平面，∴，

∵，，∴是等邊三角形，

∵為的中點(diǎn).， ∴.

又，面面，，∴平面.

（2）設(shè)中點(diǎn)為，連結(jié)，則兩兩垂直，不妨設(shè).

以為原點(diǎn)，以為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖：

則，，.，.

∴，，

設(shè)平面的法向量為，

則，令，得

而為平面的一個法向量

∴

二面角的余弦值為.