Question

【題目】已知橢圓的離心率為，短軸長為.

（1）求的方程；

（2）如圖，經(jīng)過橢圓左頂點(diǎn)且斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，過點(diǎn)作（為坐標(biāo)原點(diǎn)）垂直的直線交直線于點(diǎn)，且面積為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率為，短軸長為，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、 即可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求得直線的斜率，可得直線方程，與直線的方程聯(lián)立求得點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式、弦長公式以及三角形面積公式可得，從而可得結(jié)果.

（1）由題意，知.

解得.

橢圓的方程為.

（2）易知，橢圓的左頂點(diǎn)，

設(shè)直線的方程為，則.

由消去并整理，得.

設(shè)，

.

，.

，，

，直線的斜率為.

直線方程為，直線的方程為.

點(diǎn).

點(diǎn)到直線的距離為.

.

.

.

，，解得.