Question

【題目】數(shù)列中，已知對(duì)任意都成立，數(shù)列的前項(xiàng)和為．（這里均為實(shí)數(shù)）

（1）若是等差數(shù)列，求的值；

（2）若，求；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列，且任意相鄰三項(xiàng)按某順序排列后成等差數(shù)列？若存在，求出所有的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）由，解得．（2）由題意可得，

．既兩項(xiàng)一并是常數(shù)列，所以分奇偶處理此問(wèn)。（3）等差中項(xiàng)的三種情況分類(lèi)討論可求解。

試題解析：（1）若是等差數(shù)列，則對(duì)任意，有，

即，故．

（2）當(dāng)時(shí)， ，即， ，

故．

所以，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)， ；

當(dāng)是奇數(shù)時(shí)， ， ．

綜上， （）．　

（3）若是等比數(shù)列 ，則公比，由題意，故， ， ．

若為等差中項(xiàng)，則，即 ，解得（舍去）；

若為等差中項(xiàng)，則，即 ，因，故解得， ， ；

若為等差中項(xiàng)，則，即，

因?yàn)?/span>，解得．

綜上，存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足題意， ．