Question

設(shè)a，b∈R，a²+2b²=6，則a+b的最小值是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)a，b∈R，a²+2b²=6，此為一橢圓的方程，故求解此題可借助橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求最小值．

解答：解：a²+2b²=6，可變?yōu)?span id="aszvazp" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

a2

6

+

b2

3

=1，
故可設(shè)a=

6

cosθ，b=

3

sinθ
則a+b=

6

cosθ+

3

sinθ=3（

6

3

cosθ+

3

3

sinθ）  θ∈[0，2π]
令tanα=

2

則a+b=3sin（θ+α）≥-3      θ∈[0，2π]
則a+b的最小值是-3．

點評：本題考查橢圓上一點的橫縱坐標和最小的問題，用參數(shù)方程將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)用三角函數(shù)的有界性求解是一個好辦法，本題也可以用線性規(guī)劃的知識求解，或者令t=a+b，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)方程組有解消元后用判別式大于等于零建立關(guān)于t的不等式求出t的取值范圍，即得其最小值．