Question

【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是邊長為2的等邊三角形且垂直于底， 是的中點(diǎn)。

（1）證明：直線平面；

（2）點(diǎn)在棱上，且直線與底面所成角為，求二面角的余弦值。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1） 取的中點(diǎn)，連結(jié)， ，由題意證得∥，利用線面平行的判斷定理即可證得結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得半平面的法向量： ， ，然后利用空間向量的相關(guān)結(jié)論可求得二面角的余弦值為．

試題解析：（1）取中點(diǎn)，連結(jié)， ．

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以, ,由得，又

所以．四邊形為平行四邊形， ．

又， ，故

（2）

由已知得,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)閤軸正方向， 為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則

則， ， ， ，

,則

因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45°，而是底面ABCD的法向量，所以

，

即（x-1）+y-z=0

又M在棱PC上，學(xué)|科網(wǎng)設(shè)

由①，②得

所以M，從而

設(shè)是平面ABM的法向量，則

所以可取m=（0，-，2）.于是

因此二面角M-AB-D的余弦值為

點(diǎn)睛:（1）求解本題要注意兩點(diǎn)：①兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，②利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心、準(zhǔn)確計算．

（2）設(shè)m，n分別為平面α，β的法向量，則二面角θ與<m，n>互補(bǔ)或相等，故有|cos θ|＝|cos<m，n>|=．求解時一定要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．