Question

【題目】如圖，在各棱長(zhǎng)均相等的三棱柱中，設(shè)是的中點(diǎn)，直線與棱的延長(zhǎng)線交于點(diǎn).

（1）求證:直線平面；

（2）若底面，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）連接交于點(diǎn)，連接，由中位線定理可得，即可由線面平行的判定定理證明平面；

（2）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，可證明，則以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求得平面和平面的法向量，由空間向量數(shù)量積定義可求得兩個(gè)平面夾角的余弦值，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求得二面角的正弦值.

（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，如下圖所示：

∵且，

∴.

由已知條件得，

∴.

又∵平面，且平面，

∴直線平面.

（2）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，

由已知得.

又∵且，

∴.

結(jié)合，得.

故.

由題意以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

設(shè)，則，，，.

∴，，.

由，得平面的一個(gè)法向量為，

由，得平面的一個(gè)法向量為.

于是.

由同角三角函數(shù)關(guān)系式可知

故二面角的正弦值為.