Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，有一個(gè)頂點(diǎn)為，．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為,求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）首先根據(jù)橢圓有一個(gè)頂點(diǎn)為，可知長(zhǎng)軸，又，從而得：，可求出，即可求出橢圓方程.
（2）分直線的斜率存在與不存在分類討論，（1）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時(shí)，；（2）當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，并整理得，利用和點(diǎn)差法即可求出結(jié)果.
解：（1）因?yàn)闄E圓有一個(gè)頂點(diǎn)為，故長(zhǎng)軸，又，從而得：，，∴橢圓的方程；(3分)
（2）依題意，直線過(guò)點(diǎn)且斜率不為零.
（1）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時(shí)，；   (4分)
（2）當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線方程為,  (5分)
由方程組
 消去，并整理得，  
設(shè),, 又有，則
∴   (7分)
∴ ，  ∴，
，       (9分)
 ，       .
且 ．          (11分)
綜合(1)、(2)可知直線的斜率的取值范圍是：．   (12分)
考點(diǎn)：1.橢圓的方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系.