Question

【題目】已知三棱錐（如圖1）的平面展開圖（如圖2）中，四邊形為邊長為的正方形，△ABE和△BCF均為正三角形，在三棱錐中：

(I)證明：平面 平面;

(Ⅱ)求二面角的余弦值；

(Ⅲ)若點在棱上，滿足， ，點在棱上，且，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）;（Ⅲ） .

【解析】試題分析：第一問取中點，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得，根據(jù)題中所給的邊長，利用勾股定理求得，利用線面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到結(jié)果；第二問根據(jù)題中所給的條件建立空間直角坐標系，寫出相應(yīng)的點的坐標，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出結(jié)果；第三問利用向量間的關(guān)系，利用向量垂直的條件，利用向量的數(shù)量積等于0，得出所求的比值與的關(guān)系式，利用函數(shù)的有關(guān)知識求得結(jié)果.

（Ⅰ）方法1：

設(shè)的中點為，連接， . 由題意

， ，

因為在中， ， 為的中點

所以，

因為在中， ， ，

所以

因為， 平面

所以平面

因為平面

所以平面 平面

方法2：

設(shè)的中點為，連接， .

因為在中， ， 為的中點

所以，

因為， ，

所以≌≌

所以

所以

因為， 平面

所以平面

因為平面

所以平面 平面

方法3：

設(shè)的中點為，連接，因為在中， ，

所以

設(shè)的中點，連接， 及.

因為在中， ， 為的中點

所以.

因為在中， ， 為的中點

所以.

因為， 平面

所以平面

因為平面

所以

因為， 平面

所以平面

因為平面

所以平面 平面

（Ⅱ）由平面， ，如圖建立空間直角坐標系，則

， ， ， ，

由平面，故平面的法向量為

由，

設(shè)平面的法向量為，則

由得：

令，得， ，即

由二面角是銳二面角，

所以二面角的余弦值為

（Ⅲ）設(shè)， ，則

令

得

即，μ是關(guān)于λ的單調(diào)遞增函數(shù)，

當時， ，

所以