Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若方程在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，求的取值范圍（其中為自然對(duì)數(shù)的底）；

（2）令，如果圖象與軸交于，，中點(diǎn)為，求證：.

Answer 1

【答案】（1） （2）證明見解析

【解析】

（1）設(shè)，求，令，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得出的圖像的大致走向，得出滿足題意的不等式組，解得實(shí)數(shù)的取值范圍.
(2)由，，得，將坐標(biāo)代入，再兩式相減得，.然后假設(shè),代入消去參數(shù)，利用進(jìn)行換元再構(gòu)造函數(shù)，利用的單調(diào)性可得到與假設(shè)相矛盾的結(jié)論，從而證明結(jié)論.

(1)設(shè)，則

由得，得.

所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

,,

方程在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根

所以 解得： .

所以的取值范圍是

（2）由為的中點(diǎn)有.

由點(diǎn)，在的圖像上有.

兩式相減的

即 ，所以

又，則

假設(shè)成立

即成立.

則，即

所以，即

設(shè)由有

設(shè)，則

所以在上單調(diào)遞增，所以.

則，即恒成立.

設(shè)與假設(shè)相矛盾.

故假設(shè)不成立.

即成立.