Question

設動點P在棱長為1的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的對角線BD₁上，記＝λ.當∠APC為鈍角時，λ的取值范圍是________．

Answer 1

(，1)

本題主要考查了用空間向量求直線間的夾角，一元二次不等式的解法，意在考查考生的空間想象能力以及運算求解能力．
以、、為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系D－xyz，則有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D₁(0,0,1)，則＝(1,1，－1)，得＝λ＝(λ，λ，－λ)，所以＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)，顯然∠APC不是平角，所以∠APC為鈍角等價于·<0，即－λ(1－λ)－λ(1－λ)＋(λ－1)²<0，即(λ－1)(3λ－1)<0，解得<λ<1，因此λ的取值范圍是(，1)．