Question

【題目】已知函數(shù) ，其中.

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若存在使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若當(dāng)時(shí)恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析.（Ⅱ）.（Ⅲ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到的根，分類討論，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）令，轉(zhuǎn)化為在上有解，即在上有解，又由關(guān)于單調(diào)遞增，求得實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）由題意，得到，取得，得得，由（Ⅱ）知，分類討論即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍．

試題解析：

（Ⅰ） .

令得或.

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，令得或，從而在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（Ⅱ） ，令，

則 ，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號.

注意到 ，

原問題轉(zhuǎn)化為在上有解，即在上有解，又關(guān)于單調(diào)遞增，從而，

又，綜合得.

（Ⅲ）令 ，

，

得，由（Ⅱ）知.

當(dāng)，即時(shí)，，又，從而當(dāng)時(shí)恒有，

當(dāng)時(shí)，存在使得，即，即，

解得，，（舍去）.

從而當(dāng)時(shí)，此時(shí)，矛盾.

綜上.