Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)均在第一象限），與軸，軸分別交于兩點(diǎn)，且滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）.證明：直線的斜率為定值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，由可得，由，消去，根據(jù)韋達(dá)定理可得，進(jìn)而可得結(jié)果.

試題解析：（1）由題意可得，解得，故橢圓的方程為；

（2）由題意可知直線的斜率存在且不為0，

故可設(shè)直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

由，

化簡(jiǎn)得，，即，

由，消去得，

則，且，

故，

因此，即，

又，所以，又結(jié)合圖象可知，，所以直線的斜率為定值.