Question

【題目】在四面體A-BCD中，有兩條棱的長(zhǎng)為，其余棱的長(zhǎng)度都為1；

（1）若，且，求二面角A-BC-D的余弦值；

（2）求a的取值范圍，使得這樣的四面體是存在的；

Answer 1

【答案】（1）；（2）0＜a；

【解析】

（1）由題意畫出圖形，作出二面角的平面角，利用余弦定理得答案；

（2）分兩條長(zhǎng)為a的棱相交與兩條長(zhǎng)為a的棱互為對(duì)棱分析，結(jié)合運(yùn)動(dòng)思想與極限思想求得每一種情況的a的范圍，最后取并集得答案．

（1）如圖，

過(guò)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，則∠AED為二面角A﹣BC﹣D的平面角，

在等邊三角形BCD中，∵BC＝CD＝BD＝1，∴DE，

在等腰三角形ABC中，∵AB＝AC，BC＝1，∴AE．

在△AED中，由余弦定理得cos∠AED；

（2）當(dāng)兩條長(zhǎng)為a的棱相交時(shí)，不妨設(shè)AB＝AC＝a，AD＝BD＝CD＝BC＝1，

∵面ABC與平面BCD重合且A，D在BC異側(cè)時(shí)，AE，此時(shí)AB＝AC，

面ABC與平面BCD重合且A，D在BC同側(cè)時(shí)，AE＝1，此時(shí)AB＝AC．

∴；

當(dāng)兩條長(zhǎng)為a的棱互為對(duì)棱時(shí)，不妨設(shè)BC＝AD＝a，AB＝AC＝BD＝CD＝1，BC，AD可以無(wú)限趨近于0，

當(dāng)ABCD為平面四邊形時(shí)a，

∴0．

綜上，若四面體存在，則0＜a．