Question

若正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y+6=xy，則log₂^x+log₂^y的最小值是

log₂¹⁸

．

Answer 1

分析：由條件知右邊是xy的形式左邊是2x+y和常數(shù)的和的形式，利用基本不等式a+b≥2

ab

化簡后，轉(zhuǎn)化后變成關(guān)于xy的不等式，把xy看成整體換元后求最小值，再由對數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)求出最小值．

解答：解：由條件利用基本不等式可得，
xy=2x+y+6≥2

2xy

+6（當(dāng)且即當(dāng)2x=y時取等號），
令xy=t²，即 t=

xy

＞0，可得t2-2

2

t-6≥0，
∴(t-3

2

)(t+

2

)≥0，解得t≥3

2

或t≤-

2

（舍去），
∴

xy

≥3

2

，得xy≥18，
∴l(xiāng)og₂^x+log₂^y=

log

(xy) 2

≥

log

18 2

，
故答案為：

log

18 2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了對數(shù)的運(yùn)算和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，以及用基本不等式a+b≥2

ab

決最值問題的能力，以及換元思想和簡單一元二次不等式的解法．