Question

【題目】 設(shè)函數(shù)f(x)＝(x－1)2＋bln x，其中b為常數(shù)．

(1)當(dāng)b>時(shí)，判斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)f(x)有極值點(diǎn)，求b的取值范圍及f(x)的極值點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增（2）見解析

【解析】

試題（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再對導(dǎo)函數(shù)分子配方，根據(jù)b范圍確定導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，即得函數(shù)單調(diào)性（2）函數(shù)f(x)有極值點(diǎn)，即導(dǎo)函數(shù)變化，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即得b的取值范圍，再列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，進(jìn)而確定f(x)的極值點(diǎn)．

試題解析：解：(1)由題意知，f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，

f′(x)＝2x－2＋＝＝ (x>0)，

∴當(dāng)b>時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在定義域(0，＋∞)上單調(diào)遞增．

(2)①由(1)得，當(dāng)b≥時(shí)，f′(x)≥0，函數(shù)f(x)無極值點(diǎn)．

②當(dāng)b<時(shí)，f′(x)＝0有兩個(gè)不同解，x1＝－，x2＝＋，所以(ⅰ)b≤0時(shí)，x1＝－≤0(0，＋∞)，舍去，

而x2＝＋≥1∈(0，＋∞)，

此時(shí)f′(x)，f(x)隨x在定義域上的變化情況如下表：

x	(0，x2)	x2	(x2，＋∞)
f′(x)	－	0	＋
f(x)	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由此表可知：b≤0時(shí)，f(x)有惟一極小值點(diǎn)，x＝＋.

(ⅱ)當(dāng)0<b<時(shí)，0<x1<x2<1，此時(shí)，f′(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：

x	(0，x1)	x1	(x1，x2)	x2	(x2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由此表可知：0<b<時(shí)，f(x)有一個(gè)極大值x1＝－和一個(gè)極小值點(diǎn)x2＝＋.

綜上所述：當(dāng)b≤0時(shí)，f(x)有惟一極小值點(diǎn)x＝＋；

當(dāng)0<b<時(shí)，f(x)有一個(gè)極大值點(diǎn)x＝－和一個(gè)極小值點(diǎn)x＝＋.