Question

【題目】[選修4-5：不等式選講]已知函數(shù)f（x）=2|x+1|+|x﹣2|的最小值為m．
（Ⅰ）求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）若a，b，c均為正實數(shù)，且滿足a+b+c=m，求證： + + ≥3．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：x≤﹣1，f（x）=﹣2x﹣2﹣x+2=﹣3x≥3， ﹣1＜x＜2，f（x）=2x+2﹣x+2=x+4∈（3，6），
x≥2，f（x）=2x+2+x﹣2=3x≥6，
∴m=3；
（Ⅱ）證明：a+b+c=3，由柯西不等式可得（a+b+c）（ + + ）≥（a+b+c）2 ，
∴ + + ≥3
【解析】（Ⅰ）分類討論，即可求實數(shù)m的值；（Ⅱ）a+b+c=3，由柯西不等式可得（a+b+c）（ + + ）≥（a+b+c）2 ， 即可證明結論．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用不等式的證明的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學歸納法等．