Question

【題目】已知關(guān)于x的方程（t+1）cosx﹣tsinx=t+2在（0，π）上有實(shí)根．則實(shí)數(shù)t的最大值是 ．

Answer 1

【答案】﹣1
【解析】解：∵（t+1）cosx﹣tsinx=t+2， ∴t= ，
令f（x）= ，
則f′（x）= = ，
令g（x）=sinx+2cosx﹣1，則g′（x）=cosx﹣2sinx，
∴當(dāng)x=arctan 時(shí)，g′（x）=0，當(dāng)0＜x＜arctan 時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)arctan ＜x＜π時(shí)，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，arctan ）上單調(diào)遞增，在（arctan ，π）上單調(diào)遞減，
又g（0）=1，g（π）=﹣3，
∴g（x）在（0，π）上只有一個(gè)零點(diǎn)，又g′（ ）=0，
∴當(dāng)0＜x＜ 時(shí)，g（x）＞0，當(dāng) ＜x＜π時(shí)，g（x）＜0，
∴當(dāng)0＜x＜ 時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng) ＜x＜π時(shí)，f′（x）＜0
∴f（x）在（0， ）上單調(diào)遞增，在（ ，0）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x= 時(shí)，f（x）取得最大值f（ ）=﹣1．
∴t的最大值為﹣1．
所以答案是﹣1．