Question

（2013•靜安區(qū)一模）某倉庫為了保持庫內的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設施．該設施的下部ABCD是正方形，其中AB=2米；上部CDG是等邊三角形，固定點E為AB的中點．△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗（陰影部分均不通風），MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿．
（1）設MN與AB之間的距離為x米，試將△EMN的面積S（平方米）表示成關于x的函數(shù)；
（2）求△EMN的面積S（平方米）的最大值．

Answer 1

分析：（1）分類求出MN在矩形區(qū)域、三角形區(qū)域滑動時，△EMN的面積，可得分段函數(shù)；
（2）分類求出△EMN的面積的最值，比較其大小，即可得到最值．

解答：解：（1）①如圖1所示，當MN在正方形區(qū)域滑動，
即0＜x≤2時，△EMN的面積S=

1

2

×2×x=x；（2分）
②如圖2所示，當MN在三角形區(qū)域滑動，即2＜x＜2+

3

時，連接EG，交CD于點F，交MN于點H，
∵E為AB中點，
∴F為CD中點，GF⊥CD，且FG=

3

．
又∵MN∥CD，
∴△MNG∽△DCG．
∴

MN

DC

=

GH

GF

，即MN=

2( 3 +2-x)

3

．（5分）
故△EMN的面積S=

1

2

•

2( 3 +2-x)

3

•x=-

3

3

x2+(1+

2 3

3

)x； （7分）
綜合可得：S=

x，0＜x≤2 - 3 3 x2+(1+ 2 3 3 )x，2＜x＜2+ 3

（8分）
說明：討論的分段點x=2寫在下半段也可．
（2）①當MN在正方形區(qū)域滑動時，S=x，所以有0＜S≤2；（10分）
②當MN在三角形區(qū)域滑動時，S=-

3

3

x2+(1+

2 3

3

)x．
因而，當x=1+

3

2

＜2（米），S在(2，2+

3)

上遞減，無最大值，0＜S＜2．
所以當x=2時，S有最大值，最大值為2平方米．（14分）

點評：本題考查函數(shù)模型的建立，考查函數(shù)的最值，考查學生分析解決問題的能力，確定分段函數(shù)是關鍵．