Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓的右焦點(diǎn)為，且離心率，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，過(guò)作直線的垂線，直線與直線相交于點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）證明：點(diǎn)在一條定直線上；

（3）當(dāng)最大時(shí)，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）

【解析】

（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程組求得，進(jìn)而得到橢圓方程；

（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，進(jìn)而得到中點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線方程，與直線方程聯(lián)立后可求得點(diǎn)坐標(biāo)，知點(diǎn)橫坐標(biāo)為定值，從而得到結(jié)論；

（3）利用直線和的斜率可結(jié)合兩角和差正切公式表示出，利用基本不等式可求得的最大值，由取等條件可得此時(shí)的值和點(diǎn)坐標(biāo)；利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式分別求得三角形的底和高，進(jìn)而得到所求面積.

（1）橢圓的右焦點(diǎn)為，.

又，，.

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

（2）設(shè)，，中點(diǎn)，直線：，

聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)得：，

，，

將代入直線的方程，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，直線的方程為.

直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且與直線垂直，直線的方程為.

解方程組得：，

點(diǎn)在定直線上.

（3）設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為.

由（2）可知：，.

.

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最大值，此時(shí)最大.

此時(shí)直線方程為，點(diǎn)為.

由（2）可得：，，，

弦長(zhǎng)，到直線的距離，

.