Question

【題目】已知函數(shù) ．

（1）若，求曲線在處切線的斜率；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：(Ⅰ)由已知，……………………………………………………（2分）

.

故曲線在處切線的斜率為.…………………………………（4分）

(Ⅱ).……………………………………………………（5分）

①當(dāng)時，由于，故，

所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為.………………………………………（6分）

②當(dāng)時，由，得.

在區(qū)間上，，在區(qū)間上，

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.………（8分）

（Ⅲ）由已知，轉(zhuǎn)化為.…………………………………………………（9分）

……………………………………………………………………………（10分）

由(Ⅱ)知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，值域為，故不符合題意.

(或者舉出反例：存在，故不符合題意.)……………………（11分）

當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故的極大值即為最大值，，…………（13分）

所以，

解得. ………………………………………………………………………（14分）

【解析】

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程關(guān)鍵是切點坐標(biāo)和該點的導(dǎo)數(shù)值。

（2）求解定義域和導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得到結(jié)論。

（3）由已知，轉(zhuǎn)化為.

由(Ⅱ)知，當(dāng)a0時，f(x)在x>0上單調(diào)遞增，值域為R，故不符合題意.

當(dāng)a<0時，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故f(x)的極大值即為最大值，進而得到。

解(Ⅰ)由已知，

.

曲線在處切線的斜率為.

(Ⅱ).

①當(dāng)時，由于，故，

所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為.

②當(dāng)時，由，得.

在區(qū)間上，，在區(qū)間上，

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（Ⅲ）由已知，轉(zhuǎn)化為.

由(Ⅱ)知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，值域為，故不符合題意.

(或者舉出反例：存在，故不符合題意.)

當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故的極大值即為最大值，，

所以，

解得.