Question

【題目】已知函數(shù)，的定義域分別為，若存在常數(shù)，滿足：①對(duì)任意，恒有，且.②對(duì)任意，關(guān)于的不等式組恒有解，則稱為的一個(gè)“型函數(shù)”.

(1)設(shè)函數(shù)和，求證：為的一個(gè)“型函數(shù)”；

(2)設(shè)常數(shù)，函數(shù)，.若為的一個(gè)“型函數(shù)”，求的取值范圍；

(3)設(shè)函數(shù).問：是否存在常數(shù)，使得函數(shù)為的一個(gè)“型函數(shù)”？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).

【解析】

（1）由，恒成立，①成立，根據(jù)解析式，為不等式組的一個(gè)解，得②成立，即可證明結(jié)論；

（2）為的一個(gè)“型函數(shù)”，滿足①對(duì)任意，求出的范圍，②對(duì)任意，關(guān)于的不等式組恒有解，

轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，可求出的范圍，即可求解；

（3）由為的一個(gè)“型函數(shù)”，與（2）同理，將同時(shí)滿足①②條件的參數(shù)求出，即可求解.

（1）①，

當(dāng)，

任意，且，

②，，

因?yàn)?/span>，

為不等式的一個(gè)解，

所以為的一個(gè)“型函數(shù)”；

（2）①對(duì)任意，

，

；

②對(duì)任意，關(guān)于的不等式組恒有解，

，即，

因?yàn)殛P(guān)于的不等式組恒有解，所以，

恒成立，；

綜上，；

（3）①對(duì)任意對(duì)任意，

，

；

②對(duì)任意，關(guān)于的不等式組恒有解，

，

考慮，

令，

則，

由于在時(shí)，單調(diào)遞增，

或（舍去），

由，記方程的根為，

若，則，

即為不等式組的一個(gè)解，

若，取且，

，

綜上，.