Question

以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．曲線C₁的極坐標方程為：ρ=2cos(θ-

π

3

)，曲線C₂的參數方程為：

x=4cos π 3 +tcosα y=2sin π 3 +tsinα

（α為參數，t＞0），點N的極坐標為(4，

π

3

)．
（1）若M是曲線C₁上的動點，求M到定點N的距離的最小值；
（2）若曲線C₁與曲線C₂有兩個不同交點，求正數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）化圓C₁的極坐標方程為普通方程，求出圓心坐標和半徑，化點N的極坐標為直角坐標，用點N到圓心的距離減去圓的半徑得圓上M到定點N的距離的最小值；
（2）化圓C₂的參數方程為普通方程，求出圓心坐標和半徑，利用曲線C₁與曲線C₂有兩個不同交點，得到兩圓的圓心距大于半徑差的絕對值且小于半徑的和，解不等式組即可得到答案．

解答：解：（1）在直角坐標系xOy中，由x=4cos

π

3

=4×

1

2

=2，y=4sin

π

3

=4×

3

2

=2

3

，
可得點N(2，  2

3

)．
由ρ=2cos(θ-

π

3

)，得ρ2=2ρ(cosθcos

π

3

+sinθsin

π

3

)，即ρ2=ρcosθ+

3

ρsinθ，
x2+y2-x-

3

y=0．
∴曲線C₁為圓(x-

1

2

)2+(y-

3

2

)2=1，圓心為O1(

1

2

，  

3

2

)，半徑為1，
∴|O₁N|=3，
∴|MN|的最小值為3-1=2；
（2）由（1）知，曲線C₁為圓(x-

1

2

)2+(y-

3

2

)2=1，
曲線C₂的參數方程為：

x=4cos π 3 +tcosα y=2sin π 3 +tsinα

（α為參數，t＞0），
即

x=2+tcosα y= 3 +tsinα

，移向后平方作和得：
(x-2)2+(y-

3

)2=t2(t＞0)，
∴曲線C₂為圓心為O2(2，  

3

)，半徑為t的圓，
∵曲線C₁與曲線C₂有兩個不同交點，
∴|t-1|＜

(2- 1 2 )2+( 3 - 3 2 )2

＜t+1，  t＞0，解得

3

-1＜t＜

3

+1，
∴正數t的取值范圍是(

3

-1，  

3

+1)．

點評：本題考查了點的極坐標和直角坐標的互化，考查了參數方程化普通方程，考查了點與圓、圓與圓的位置關系，方法是利用對兩圓的圓心距與半徑的和與差的絕對值進行大小比較，考查了不等式的解法，是中檔題．