Question

在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線l上兩點(diǎn)M，N的極坐標(biāo)分別為（2，0），(

2 3

3

， 

π

2

)，曲線C的參數(shù)方程

x=-1+2cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)且0＜θ＜π）．
（1）設(shè)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線OP的平面直角坐標(biāo)方程；
（2）判斷直線l與曲線C的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）把直線l上兩點(diǎn)M，N的極坐標(biāo)分別為（2，0），(

2 3

3

， 

π

2

)，化為直角坐標(biāo)，得M（2，0），N（0，

2 3

3

），由此能求出直線OP的平面直角坐標(biāo)方程．
（2）圓C方程化為普通方程是（x+1）²+y²=4，（y＞0），圓心到直線OP的距離d=

1

2

＜2，直線與圓相交，由此能判斷直線l與曲線C的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）∵直線l上兩點(diǎn)M，N的極坐標(biāo)分別為（2，0），(

2 3

3

， 

π

2

)，
化為直角坐標(biāo)為M（2，0），N（0，

2 3

3

），
∴MN中點(diǎn)的P坐標(biāo)是(1， 

3

3

)，
∴直線OP的平面直角坐標(biāo)方程是y=

3

3

x．…（5分）
（2）∵曲線C的參數(shù)方程

x=-1+2cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)且0＜θ＜π），
∴圓C方程化為普通方程是（x+1）²+y²=4，（y＞0），…（7分）
圓心到直線OP的距離d=

1

2

＜2，
所以直線與圓相交，…（8分）
因?yàn)榈�是圓C的圖象只在x軸上方，直線經(jīng)過第一和第三象限，
所以直線與圓交點(diǎn)只有在第一象限唯一一個(gè)．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的平面直角坐標(biāo)方程的求法，考查直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的概念及轉(zhuǎn)化為普通方程的方法的合理運(yùn)用．