Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₁的極坐標(biāo)方程為：3ρ²=12ρcosθ-10（ρ＞0）．
（1）求曲線C₁的普通方程
（2）曲線C₂的方程為

x2

16

+

y2

4

=1，設(shè)P、Q分別為曲線C₁與曲線C₂上的任意一點(diǎn)，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析：（1）直接把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ代入極坐標(biāo)方程，化簡(jiǎn)后得曲線C₁的普通方程；
（2）利用參數(shù)方程設(shè)出橢圓

x2

16

+

y2

4

=1上的任意一點(diǎn)Q，求出Q到圓的圓心的最小距離，減去圓的半徑得答案．

解答：解：（1）由3ρ²=12ρcosθ-10（ρ＞0），得
3x²+3y²=12x-10，即(x-2)2+y2=

2

3

．
∴曲線C₁的普通方程為：(x-2)2+y2=

2

3

；
（2）依題意可設(shè)Q（4cosθ，2sinθ），
由（1）知圓C₁的圓心坐標(biāo)為（2，0），
則|QC|=

(4cosθ-2)2+4sin2θ

=

12cos2θ-16cosθ+8

=2

3(cosθ- 2 3 )2+ 2 3

．
∴當(dāng)cosθ=

2

3

時(shí)，|QC|min=

2 6

3

．
∴|PQ|min=

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，考查了兩點(diǎn)間的距離公式，訓(xùn)練了利用配方法求最值，是中低檔題．