Question

如圖，橢圓＝1(a＞b＞0)的上，下兩個(gè)頂點(diǎn)為A，B，直線(xiàn)l：y＝－2，點(diǎn)P是橢圓上異于點(diǎn)A，B的任意一點(diǎn)，連接AP并延長(zhǎng)交直線(xiàn)l于點(diǎn)N，連接PB并延長(zhǎng)交直線(xiàn)l于點(diǎn)M，設(shè)AP所在的直線(xiàn)的斜率為k₁，BP所在的直線(xiàn)的斜率為k₂.若橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)A(0,1)．

(1)求k₁·k₂的值；
(2)求MN的最小值；
(3)隨著點(diǎn)P的變化，以MN為直徑的圓是否恒過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)；如不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）（2）4（3）恒過(guò)定點(diǎn)(0，－2±2)

(1)因?yàn)?i>e＝＝，b＝1，解得a＝2，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y²＝1.(2分)

設(shè)橢圓上點(diǎn)P(x₀，y₀)，有＋＝1，
所以k₁·k₂＝.(4分)
(2)因?yàn)?i>M，N在直線(xiàn)l：y＝－2上，設(shè)M(x₁，－2)，N(x₂，－2)，
由方程知＋y²＝1知，A(0,1)，B(0，－1)，
所以K_BM·k_AN＝，(6分)
又由(1)知k_AN·k_BM＝k₁·k₂＝－，所以x₁x₂＝－12，(8分)
不妨設(shè)x₁＜0，則x₂＞0，則
MN＝|x₁－x₂|＝x₂－x₁＝x₂＋≥2＝4，
所以當(dāng)且僅當(dāng)x₂＝－x₁＝2時(shí)，MN取得最小值4.(10分)
(3)設(shè)M(x₁，－2)，N(x₂，－2)，
則以MN為直徑的圓的方程為
(x－x₁)(x－x₂)＋(y＋2)²＝0，(12分)
即x²＋(y＋2)²－12－(x₁＋x₂)x＝0，若圓過(guò)定點(diǎn)，
則有x＝0，x²＋(y＋2)²－12＝0，解得x＝0，y＝－2±2，
所以，無(wú)論點(diǎn)P如何變化，以MN為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)(0，－2±2)．(16分)