Question

如圖，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD= 60°。

(1)求證：平面PBD⊥平面PAC；

(2)求點(diǎn)A到平面PBD的距離；

(3)求二面角B—PC—A的大小。(14分)

 

 

Answer 1

【答案】

（1）略（2）（3）

【解析】(1) 證：…4分

(2) 解：連結(jié)PO，過A作AE⊥PO，平面PAC平面PBD=PO

∴AE⊥平面PBD，AE就是所求的距離，計(jì)算得……8分

(3) 解：過O作OF⊥PC，連BF，∵OB⊥平面PAC，由三垂線定理，PC⊥BF，

∴∠OFB為二面角B-PC-A的平面角，經(jīng)計(jì)算得，，，

∴

∴,所求二面角大小為…14分

解法二：如圖,以A原點(diǎn)，AB為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，

過D作DE⊥AB于E，則DE=ADsin60°=， AE=ADcos60°=1，∴，，

(1)設(shè)是平面PBD的法向量，則，

又，∴令則，，∴

設(shè)是平面PAC的法向量,則，又，∴

∴令則，∴， ∵∴，∴平面PBD⊥平面PAC

(2)所求距離為

(3)設(shè)是平面PBC的法向量，則，

又,∴令則，，∴

，即二面角B-PC-A的大小為 .