Question

如圖，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求點(diǎn)A到平面PBD的距離；
（Ⅲ）求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先證明AC⊥BD，再利用向量的方法證明DB⊥AP，從而可得DB⊥平面PAC，利用面面垂直的判定可得面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求出平面PDB的法向量為

n1

=(-

2 3

3

，0，1)，

DA

=(

3

，1，0)，從而可求點(diǎn)A到平面PBD的距離；
（Ⅲ）求出平面ABP的法向量

n2

=(

3

3

，1，0)，利用向量的夾角公式，即可求得二面角A-PB-D的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：設(shè)AC與BD交于O點(diǎn)
∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD
以O(shè)A、OB所在直線分別x軸，y軸．以過(guò)O且垂直平面ABCD的直線為z軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，
則A(

3

，0，0)，B(0，1，0)，C(-

3

，0，0)，D(0，-1，0)，P(

3

，0，2)
∵

DB

=(0，2，0)，

AP

=(0，0，2)…（2分）
∴

DB • AP =0

∴DB⊥AP
∵AC⊥BD，AC∩AP=A
∴DB⊥平面PAC，又DB?平面PDB
∴平面PBD⊥平面PAC…（4分）
（Ⅱ）解：設(shè)平面PDB的法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，

DP

=(

3

，1，2)，

DB =(0，2，0)

由

n1 • DP =0 n1 • DB =0

，∴

3 x1+y1+2z 1=0 2y1=0

令z₁=1得

n1

=(-

2 3

3

，0，1)…（6分）
∵

DA

=(

3

，1，0)
∴點(diǎn)A到平面PBD的距離

d= | n1 • DA| | n 1 |

=

2 21

7

…（8分）
（Ⅲ）解：設(shè)平面ABP的法向量

n2

=(x2，y2，z2)，

AP

=(0，0，2)，

AB

=(-

3

，1，0)
∵

AP • n 2=0 AB • n 2=0

，∴

2x2=0 - 3 x2+y2=0

∴

n2

=(

3

3

，1，0)…（10分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

= 7 7

…（11分）
∴二面角A-PB-D的余弦值為

7

7

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直，考查點(diǎn)到平面的距離，考查面面角，考查利用向量知識(shí)解決立體幾何問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．