Question

如圖，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．
（1）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（2）求點A到平面PBD的距離；
（3）求二面角B-PC-A的大�。�

Answer 1

分析：（1）要證平面PBD⊥平面PAC，我們可以在一個平面內(nèi)尋找另一平面的垂線，即證BD⊥平面PAC．利用線線垂直，可以證得線面垂直；
（2）先找出表示點A到平面PBD的距離的線段，AC∩BD=O，連接PO，過A作AE⊥PO交PO于E，所以AE⊥平面PBD，AE就是所求的距離，故可求；
（3）先利用三垂線定理，作出二面角B-PC-A的平面角，再利用三角形的相似即可求得．

解答：證明：（1）∵ABCD為菱形，∴BD⊥AC
∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA
∵AC∩PA=A
∴BD⊥平面PAC
∵BD?平面PBD
∴平面PBD⊥平面PAC   （3分）
（2）AC∩BD=O，連接PO，過A作AE⊥PO交PO于E，
∴AE⊥平面PBD，AE就是所求的距離，
在三角形PAO中，PA=2，AO=

3

，
∴PO=

7

，
∴AE=

PA×AO

PO

=

2 21

7

．（3分）
（3）過O作OF⊥PC，連BF，
∵OB⊥平面PAC，由三垂線定理，PC⊥BF，
∴∠OFB為二面角B-PC-A的平面角，
∵AC=2

3

，PC=4，OC=

3

，Rt△OFC～Rt△PAC
∴

OF

PA

=

OC

PC

⇒

OF

2

=

3

4

⇒OF=

3

2

∴tan∠OFB=

OB

OF

=

1

3 2

=

2 3

3

∴∠OFB=arctan

2 3

3

，所求二面角大小為arctan

2 3

3

（3分）

點評：本題以線面垂直為載體，考查面面垂直，考查點面距離，考查面面角，解題的關鍵是正確運用面面垂直的判定定理，找出表示點面距離的線段及面面角．