Question

如圖，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60，
（1）求點(diǎn)A到平面PBD的距離的值；
（2）求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)A到面PBD的距離可以轉(zhuǎn)化成向量DA在面PBD的法向量量上的投影的長度來求解；
（2）二面角A-PB-D的余弦值可以轉(zhuǎn)化成求平面PAB與平面PBD的法向量夾角的余弦值問題來解決，求出兩個(gè)平面的法向量，用數(shù)量積公式求兩個(gè)向量夾角的余弦值，此余弦值與二面角的余弦值的關(guān)系是絕對值相等，從圖可以看出所求二面角的余弦值為正，故可求．

解答：解：由題意，連接AC，BD交于點(diǎn)O，由于四邊形ABCD是菱形可得AC，BD互相垂直，以O(shè)A、OB所在直線分別x軸，y軸，以過O且垂直平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(

3

，0，0)，B(0，1，0)，C(-

3

，0，0)，D(0，-1，0)，P(

3

，0，2)，

DB

=(0，2，0)， 

AP

=(0，0，2)（2分）
（Ⅰ）設(shè)平面PDB的法向量為

n1

=(x1 ，y1，z1)，

DP

=(

3

，1，2)， 

DB

=(0，2，0)
由

n1 • DP =0 n1 • DB =0

，得

3 x1 +y1+2z1=0 2y1=0

，令z1=1， 得

n1

=(-

2 3

3

，0，1)，

DA

=(

3

，1，0)
所以點(diǎn)A到平面PDB的距離d=

| n1 • DA |

| n1 |

=

2 21

7

（5分）
（Ⅱ）設(shè)平面ABP的法向量

n2

=(x2，y2，z2)，

AP

=(0，0，2). 

AB

=(-

3

，1，0)，
由

AP • n2 =0 AB • n2 =0

，得

2x2=0 - 3 x2 +y2

=0，令y2=1，得

x2= 3 3 y2=1 z2=0

，∴

n2

=(

3

3

，1，0)，
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 | •| n2 |

=-

7

7

，而所求的二面角與＜

n1

，

n2

＞互補(bǔ)，
所以二面角A-PB-D的余弦值為

7

7

點(diǎn)評：本題考點(diǎn)是點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，本題把求點(diǎn)到面距離的問題轉(zhuǎn)化成了求投影長度的問題，把求二面角的問題轉(zhuǎn)化成了求向量夾角的問題，體現(xiàn)了化歸的思想，在立體幾何中求距離與求夾角的問題常借助空間向量的知識來解決．用空間向量法求二面角的余弦值時(shí)，一定要注意法向量的方向，如此才能保證正確求出二面角的余弦值，若兩法向量的方向都指向二面角的內(nèi)部則法向量的余弦值就是二面角的余弦值，若全指向二面角的外部，此時(shí)二者亦相等，若一指向外部一指向內(nèi)部，則二者互為相反數(shù)，求解時(shí)要注意判斷二者的關(guān)系．