Question

【題目】已知拋物線過點，拋物線在處的切線交軸于點，過點作直線與拋物線交于不同的兩點、，直線、、分別與拋物線的準線交于點、、，其中為坐標(biāo)原點．

（Ⅰ）求拋物線的方程及其準線方程，并求出點的坐標(biāo)；

（Ⅱ）求證：為線段的中點．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）拋物線的方程為，準線方程為，；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）將點的坐標(biāo)代入拋物線的方程，求出的值，可得出拋物線的方程，并可求出拋物線的準線方程，求出切線的方程，進而可求得點的坐標(biāo)；

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，與拋物線的交點為、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出點的坐標(biāo)，并求出點、的坐標(biāo)，進而求出線段的中點坐標(biāo)，由此可證得結(jié)論成立.

（Ⅰ）由拋物線過點，得，

所以拋物線的方程為，準線方程為．

設(shè)切線的方程為，

由，得，

則，

從而的方程為，得；

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，與拋物線的交點為、．

由，得，則，．

因為點的坐標(biāo)為，所以點的坐標(biāo)為，

直線的方程為，結(jié)合，從而直線，

可得點的坐標(biāo)為，同理點的坐標(biāo)為．

因為，

故為線段的中點．