Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）點(diǎn)在橢圓上上，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱，連接，并延長與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，連接，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由得，由點(diǎn)在橢圓上得，解方程組得， ，（2）根據(jù)對(duì)稱性得坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線距離為△高的一半；聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式可得底邊邊長，由面積公式可得△面積為，根據(jù)非負(fù)可得面積取值范圍，最后考慮直線斜率不存在的情形，確定面積最值.

試題解析：（Ⅰ）依題意， ， ， ，解得， ，

故橢圓的方程為.

（Ⅱ）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不妨取， ， ，

故；

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為， ，

聯(lián)立方程化簡得，

設(shè)， ，則， ，

點(diǎn)到直線的距離，

因?yàn)?/span>是線段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線的距離為，

∴，

綜上，△面積的最大值為.