Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù)在上的最大值；

（Ⅲ）求證：存在唯一的，使得.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）6;（Ⅲ）證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率，寫出切線方程；（Ⅱ）寫出函數(shù)在區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的變化情況，列表求最值即可；（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)=，只需證明函數(shù)有唯一零點(diǎn)即可.

試題解析：（Ⅰ）由，得 ,

所以，又

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為： ，即： .

（Ⅱ）令，得.

與在區(qū)間的情況如下：

	-	0	+
		極小值

因?yàn)?/span> 所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為6.

（Ⅲ）證明：設(shè)=，

則，

令，得.

與隨x的變化情況如下：

				1
		0		0
		極大值		極小值

則的增區(qū)間為， ，減區(qū)間為.

又， ，所以函數(shù)在沒有零點(diǎn)，又，

所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn).

綜上，在上存在唯一的，使得.