Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率.

（1）求的方程；

（2）設(shè)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與相交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），記直線的斜率為，直線的斜率為，證明： 為定值.

Answer 1

【答案】(1) （2）見(jiàn)解析

【解析】【試題分析】（1）依題意可知，解方程組可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）當(dāng)直線斜率斜率不存在時(shí)，不符合題意.當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，計(jì)算的值，化簡(jiǎn)后結(jié)果為，由此證明結(jié)論成立.

【試題解析】

（1）因?yàn)闄E圓，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以．

又，所以，解得．

故而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ．

（2）若直線的斜率不存在，則直線的方程為，

此時(shí)直線與橢圓相切，不符合題意．

設(shè)直線的方程為，即，

聯(lián)立，得．

設(shè)， ，則

所以為定值，且定值為-1．