Question

一個(gè)口袋中裝有大小相同的n個(gè)紅球（n≥5且n∈N）和5個(gè)白球，每次從中任取兩個(gè)球，當(dāng)兩個(gè)球的顏色不同時(shí)，則規(guī)定為中獎(jiǎng)．
（1）試用n表示一次取球中獎(jiǎng)的概率p；
（2）記從口袋中三次取球（每次取球后全部放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率為m，求m的最大值；
（3）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)m取得最大值時(shí)將5個(gè)白球全部取出后，對(duì)剩下的n個(gè)紅球作如下標(biāo)記：記上i號(hào)的有i個(gè)（i=1，2，3，4）），其余的紅球記上0號(hào)，現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號(hào)，求X的分布列、期望．

Answer 1

分析：（1）用古典概型求解即可．分母為從n+5任取兩個(gè)，有C_n+5²種方法，分子為兩個(gè)球的顏色不同的方法有C_n¹C₅¹種；
（2）每次取球后全部放回，故為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，按照獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率就解出概率，看作p的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，并求出對(duì)應(yīng)的n 即可；
（3）X的取值為0，1，2，3，4，利用古典概型分別求出概率，列出分布列，求期望即可．

解答：解：（1）每次從n+5任取兩個(gè)，有C_n+5²種方法．
它們是等可能的，其中兩個(gè)球的顏色不同的方法有C_n¹C₅¹種，
一次取球中獎(jiǎng)的概率為p=

C 1 n C 1 5

C 2 n+5

=

10n

(n+5)(n+4)

．
（2）設(shè)每次取球中獎(jiǎng)的概率為p次取球中恰有一次中獎(jiǎng)的概率是：
m=P₃（1）=C₃¹•p•（1-p）²=3p³-6p²+3p（0＜p＜1
p數(shù)m'=9p²-12p+3=3（p-1）（3p-1）．
•因而m(0，

1

3

)上為增函數(shù)，m(

1

3

，1)上為減函數(shù)．
∴當(dāng)p=

1

3

，即

10n

(n+5)(n+4)

=

1

3

，n=20，mmax=

4

9

（3）由（Ⅱ）知：紅球共20個(gè)，則記上0的有10球，從中任取一球，有20法，它們是等可能的．故X的分布列是：
E(X)=0×

1

2

+1×

1

20

+2×

1

10

+3×

3

20

+4×

1

5

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率、利用導(dǎo)數(shù)求最值、離散型隨機(jī)變量及分布列、期望等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)．