Question

一個口袋中裝有大小相同的n個紅球（n≥5且n∈N）和5個白球，一次摸獎從中摸兩個球，兩個球的顏色不同則為中獎．
（I）試用n表示一次摸獎中獎的概率p；
（II）記從口袋中三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率為m，用p表示恰有一次中獎的概率m，求m的最大值及m取最大值時p、n的值；
（III）當n=15時，將15個紅球全部取出，全部作如下標記：記上i號的有i個（i=1，2，3，4），共余的紅球記上0號．并將標號的15個紅球放人另一袋中，現(xiàn)從15個紅球的袋中任取一球，ξ表示所取球的標號，求ξ的分布列、期望和方差．

Answer 1

分析：（I）計算出從n+5個球中任取兩個的方法數(shù)和其中兩個球的顏色不同的方法，由古典概型公式，代入數(shù)據(jù)得到一次摸獎中獎的概率；
（II）求出三次摸獎中（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率，利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出其最大值及相應(yīng)的p值；
（III）記上0號的有5個紅球，從中任取一球，有15種取法，它們是等可能的，確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率，可得ξ的分布列、期望和方差．

解答：解：（I）一次摸獎從n+5個球中任取兩個，有C_n+5²種方法，它們是等可能的，其中兩個球的顏色不同的方法有C_n¹C₅¹種，
∴一次摸獎中獎的概率P=

C 1 n C 1 5

C 2 n+5

=

10n

(n+5)(n+4)

；
（II）設(shè)每次摸獎中獎的概率為p（0＜p＜1），三次摸獎中（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率是
m=

C

1 3

p(1-p)2=3p³-6p²+3p（0＜p＜1）
求導數(shù)可得m′=3（p-1）（3p-1）
∴函數(shù)在（0，

1

3

）上為增函數(shù)，在（

1

3

，1）上為減函數(shù)
∴p=

1

3

時，即

10n

(n+5)(n+4)

=

1

3

，即n=20時，m_max=

4

9

；
（III）記上0號的有5個紅球，從中任取一球，有15種取法，它們是等可能的
故ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3	4
P	1 3	1 15	2 15	1 5	4 15

∴Eξ=0×

1

3

+1×

1

15

+2×

2

15

+3×

1

5

+4×

4

15

=2
Dξ=（0-2）²×

1

3

+（1-2）²×

1

15

+（2-2）²×

2

15

+（3-2）²×

1

5

+（4-2）²×

4

15

=

8

3

．

點評：本題考查概率知識，考查學生的計算能力，求離散型隨機變量期望的步驟：①確定離散型隨機變量的取值；②寫出分布列，并檢查分布列的正確與否，即看一下所有概率的和是否為1；③求出期望．