Question

（2009•孝感模擬）一個(gè)口袋中裝有大小相同的n個(gè)紅球（n≥5且n∈N）和5個(gè)白球，一次摸獎(jiǎng)從中摸兩個(gè)球，兩個(gè)球的顏色不同則為中獎(jiǎng)．
（1）記三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率為P．試問(wèn)當(dāng)n等于多少時(shí)，P的值最大？
（2）在（1）的條件下，將5個(gè)白球全部取出后，對(duì)剩下的n個(gè)紅球全部作如下標(biāo)記：記上i號(hào)的有i個(gè)（i=1，2，3，4），其余的紅球記上0號(hào)，現(xiàn)從袋中任取一球．ξ表示所取球的標(biāo)號(hào)，求ξ的分布列，期望和方差．

Answer 1

分析：（1）計(jì)算出從n+5個(gè)球中任取兩個(gè)的方法數(shù)和其中兩個(gè)球的顏色不同的方法，由古典概型公式，代入數(shù)據(jù)得到一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率，再利用函數(shù)的單調(diào)性求出其最大值及相應(yīng)的p值即可．
（2）所取球的標(biāo)號(hào)為ξ，由題意知ξ的取值是0、1、2、3，4．本題是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)上面的p值，代入公式得到結(jié)果，寫(xiě)出分布列，期望和方差．

解答：解：（1）一次摸獎(jiǎng)從n+5個(gè)球中任取兩個(gè)，有C_n+5²種方法．它們是等可能的，其中兩個(gè)球的顏色不同的方法有C_n¹C₅¹種，
一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率P=

C 1 n C 1 5

C 2 n+5

=

10n

(n+5)(n+4)

        …（2分）
設(shè)每次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為p（0＜p＜1），三次摸獎(jiǎng)中（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率，
P=

C

1 3

×p×(1-p) 2=3p³-6p²+3p
∴P′=9p²-12p+3=3（p-1）（3p-1），
由此知P在(0，

1

3

)上為增函數(shù)，P在(

1

3

，1)上為減函數(shù)，…（4分）
∴當(dāng)p=

1

3

時(shí)P取得最大值，即p=

10n

(n+5)(n+4)

=

1

3

，
解得n=20或n=1（舍去），則當(dāng)n=20時(shí)，三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率最大．…（6分）
（2）由（1）可知：記上0號(hào)的有10個(gè)紅球，從中任取一球，有20種取法，它們是等可能的故ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3	4
P	1 2	1 20	2 20	3 20	4 20

…（8分）
Eξ=0×

1

2

+1×

1

20

+2×

2

20

+3×

3

20

+4×

4

20

=

3

2

                                      …（10分）
Dξ=（0-

3

2

）²×

1

2

+（1-

3

2

）²×

1

20

+（2-

3

2

）²×

2

20

+（3-

3

2

）²×

3

20

+（4-

3

2

）²×

4

20

=

11

4

      …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、等可能事件的概率、離散型隨機(jī)變量的期望與方差等基礎(chǔ)知識(shí)，求離散型隨機(jī)變量期望的步驟：①確定離散型隨機(jī)變量 的取值．②寫(xiě)出分布列，并檢查分布列的正確與否，即看一下所有概率的和是否為1．③求出期望．