Question

【題目】定義：從數(shù)列中抽取項按其在中的次序排列形成一個新數(shù)列，則稱為的子數(shù)列；若成等差（或等比），則稱為的等差（或等比）子數(shù)列.

（1）記數(shù)列的前項和為，已知.

①求數(shù)列的通項公式；

②數(shù)列是否存在等差子數(shù)列，若存在，求出等差子數(shù)列；若不存在，請說明理由.

（2）已知數(shù)列的通項公式為，證明：存在等比子數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）①；②見解析；（2）見證明

【解析】

（1）①先由得到，再由得到通項公式，進而可得出結果；

②假設從數(shù)列中抽3項成等差，則，根據(jù)等差子數(shù)列的概念，即可得出結論；

（2）先假設數(shù)列中存在3項，，成等比.設，則，故可設（與是互質的正整數(shù)）.根據(jù)題意，得到需要，再由題中等比子數(shù)列的概念，即可得出結論.

解：（1）①因為，所以當時，，

當時，，所以.

綜上可知：.

②假設從數(shù)列中抽3項成等差，

則，即，

化簡得：.

因為，所以，，且，都是整數(shù)，

所以為偶數(shù)，為奇數(shù)，所以不成立.

因此，數(shù)列不存在三項等差子數(shù)列.

若從數(shù)列中抽項，其前三項必成等差數(shù)列，不成立.

綜上可知，數(shù)列不存在等差子數(shù)列.

（2）假設數(shù)列中存在3項，，成等比.

設，則，故可設（與是互質的正整數(shù)）.

則需滿足，

即需滿足，則需滿足.

取，則.

此時，

.

故此時成立.

因此數(shù)列中存在3項，，成等比，

所以數(shù)列存在等比子數(shù)列.