【題目】設(shè)橢圓
：
的左、右焦點分別為
，
，下頂點為
，橢圓的離心率是
，
的面積是
.
（1）求橢圓的標準方程.
（2）直線
與橢圓交于
，
兩點（異于點），若直線
與直線
的斜率之和為1，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.
【答案】（1）
； （2）證明見解析，
.
【解析】
（1）根據(jù)離心率和
的面積是
得到方程組，計算得到答案.
（2）先排除斜率為0時的情況，設(shè)
，
，聯(lián)立方程組利用韋達定理得到
，
，根據(jù)
化簡得到
，代入直線方程得到答案.
（1）由題意可得
，解得
，
，則橢圓
的標準方程是.
（2）當直線
的斜率為0時，直線
與直線
關(guān)于
軸對稱，則直線與直線的斜率之和為零，與題設(shè)條件矛盾，故直線的斜率不為0.
設(shè)，，直線的方程為
聯(lián)立
，整理得
則，.
因為直線與直線的斜率之和為1，所以，
所以
，
將，代入上式，整理得
.
所以
，即，
則直線的方程為
.
故直線恒過定點.
閱讀快車系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在多面體
中，梯形
與平行四邊形
所在平面互相垂直， 
，
，
，
，
.
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）判斷線段
上是否存在點
，使得平面
平面
？若存在，求 出
的值，若不存在，說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
.
（1）求使方程
存在兩個實數(shù)解時，
的取值范圍；
（2）設(shè)
，函數(shù)
，.若對任意
，總存在
，使得
，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】根據(jù)某水文觀測點的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)，得到某河流水位
（單位：米）的頻率分布直方圖如下.將河流水位在
，
，
，
，
，
，
各段內(nèi)的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)每年河流水位變化互不影響.
（1）求未來4年中，至少有2年該河流水位
的概率（結(jié)果用分數(shù)表示）.
（2）已知該河流對沿河
工廠的影響如下：當
時，不會造成影響；當
時，損失50000元；當
時，損失300000元.為減少損失，工廠制定了三種應(yīng)對方案.
方案一：不采取措施；
方案二：防御不超過30米的水位，需要工程費用8000元；
方案三：防御34米的最高水位，需要工程費用20000元.
試問哪種方案更好，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在正方體
中，點E是棱
的中點，點F是線段
上的一個動點．有以下三個命題：
①異面直線
與
所成的角是定值；
②三棱錐
的體積是定值；
③直線
與平面
所成的角是定值．
其中真命題的個數(shù)是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
(I)求函數(shù)
的對稱軸方程；
(II)將函數(shù)
的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長為原來的2倍，然后再向左平移
個單位，得到函數(shù)
的圖象．若
分別是△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，a=2，c=4，且
，求b的值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，已知橢圓
，
分別為其左、右焦點，過
的直線與此橢圓相交于
兩點，且
的周長為8，橢圓
的離心率為
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）在平面直角坐標系
中，已知點
與點
，過
的動直線
（不與
軸平行）與橢圓相交于
兩點，點
是點
關(guān)于
軸的對稱點．求證：
（i）
三點共線．
（ii）
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖為陜西博物館收藏的國寶——唐·金筐寶鈿團花紋金杯,杯身曲線內(nèi)收,玲瓏嬌美,巧奪天工,是唐代金銀細作的典范之作.該杯型幾何體的主體部分可近似看作是雙曲線
的右支與直線
,
,
圍成的曲邊四邊形
繞
軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體,如圖
分別為
的漸近線與,的交點,曲邊五邊形
繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的體積可由祖恒原理(祖恒原理：冪勢既同，則積不容異).意思是：兩等高的幾何體在同高處被截得的兩截面面積均相等,那么這兩個幾何體的體積相等，那么這兩個幾何體的體積相等)，據(jù)此求得該金杯的容積是_____.(杯壁厚度忽略不計)
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