Question

【題目】已知函數(shù)

（1）求函數(shù)的定義域；

（2）判定函數(shù)在的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

（3）若當(dāng)時， 恒成立，求正整數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1） （2）減函數(shù) （3）3

【解析】試題分析：

(1)結(jié)合函數(shù)的解析式可得函數(shù)的定義域為 ；

(2)對函數(shù) 求導(dǎo)，結(jié)合題意和導(dǎo)函數(shù)的解析式可得＝－ <0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,0)上是減函數(shù).

(3)首先由不等式的性質(zhì)可得k的最大值不大于３，然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)可得滿足題意，即正整數(shù)的最大值是3.

試題解析：

解：(Ⅰ)函數(shù)的定義域為

(Ⅱ)＝＝－　設(shè),

故g(x)在(-1,0)上是減函數(shù),而g(x)>g(0)=1>0,

故＝－ <0，

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,0)上是減函數(shù).　

（III）當(dāng)ｘ>０時，f（ｘ）＞恒成立,　令ｘ＝１有ｋ＜２

又k為正整數(shù)．∴k的最大值不大于３． 　　　　　　　

下面證明當(dāng)ｋ＝３時，f（ｘ）＞（ｘ＞０）恒成立．

即證當(dāng)ｘ>０時， ＋１－２ｘ＞０恒成立．　　　　　

令ｇ（ｘ）＝ ＋１－２ｘ，則＝－１，

當(dāng)ｘ>ｅ－１時， ＞０；當(dāng)０＜ｘ＜ｅ－１時， ＜０．

∴當(dāng)ｘ＝ｅ－１時，ｇ（ｘ）取得最小值ｇ(e－1)＝３－ｅ＞０．

∴當(dāng)ｘ>０時， ＋１－２ｘ＞０恒成立．

因此正整數(shù)k的最大值為3．