Question

定義在R上的可導函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），f（x-2）=f（x+2），且當x∈[0，2]時，f(x)=ex+

1

2

xf′(0)，則f(

7

2

)與f(

16

3

)的大小關系是（　　）

• A．f(

  7

  2

  )＞f(

  16

  3

  )
• B．f(

  7

  2

  )=f(

  16

  3

  )
• C．f(

  7

  2

  )＜f(

  16

  3

  )
• D．不確定

Answer 1

分析：首先利用導數(shù)即可判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的奇偶性、周期性把f(

7

2

)與f(

16

3

)的自變量變換到區(qū)間[0，2]即可得出．

解答：解：∵f（x-2）=f（x+2），∴f（x+4）=f（x）．
又f（-x）=f（x），
∴f(

7

2

)=f(

7

2

-4)=f(-0.5)=f(0.5)，
f(

16

3

)=f(

16

3

-4)=f(

4

3

)．
∵當x∈[0，2]時，f(x)=ex+

1

2

xf′(0)，
∴f′(x)=ex+

1

2

f′(0)，令x=0，則f′(0)=1+

1

2

f′(0)，解得f^′（0）=2．
∴f^′（x）=e^x+x＞0，（x∈[0，2]）
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增．
∴f(0.5)＜f(

4

3

)，即f(

7

2

)＜(

16

3

)．
故選C．

點評：熟練掌握函數(shù)的奇偶性、周期性、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解題的關鍵．