Question

已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）對任意x∈R都有f（x）=f（-x），且當x≠0時，有x•f′（x）＜0，現(xiàn)設(shè)a=f（-sin32°），b=f（cos32°），則實數(shù)a，b的大小關(guān)系是

a＞b

．

Answer 1

分析：根據(jù)當x≠0時，有x•f′（x）＜0，則當x＞0時，f′（x）＜0，即可得f（x）的單調(diào)性，再根據(jù)對任意x∈R都有f（x）=f（-x），即可得f（x）為偶函數(shù)，利用偶函數(shù)的性質(zhì)，將a=f（-sin32°）轉(zhuǎn)化為a=f（sin32°），b=f（cos32°），利用函數(shù)f（x）的單調(diào)性，即可判斷出a與b的大小關(guān)系．

解答：解：∵當x≠0時，有x•f′（x）＜0，
∴當x＞0時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，
∵函數(shù)y=f（x）對任意x∈R都有f（x）=f（-x），
∴f（x）為偶函數(shù)，
∴a=f（-sin32°）=f（sin32°），
∵sin32°＜cos32°，且f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，
∴f（sin32°）＞f（cos32°），
∴a＞b．
故答案為：a＞b．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，偶函數(shù)的定義，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用．考查了利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負對應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題時，經(jīng)常會運用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．屬于中檔題．