Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 且滿足Sn=2an﹣2．
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設函數f（x）=（ ）x ， 數列{bn}滿足條件b1=2，f（bn+1）= ，（n∈N*），若cn= ，求數列{cn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當n=1，a1=2a1﹣2，即a1=2，
當n≥2時，Sn﹣1=2an﹣1﹣2，
an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣（2an﹣1﹣2）=2an﹣2an﹣1 ，
∴an=2an﹣1 ，
∴數列{an}是以2為首項，2為公比的等比數列，
∴an=2×2n﹣1=2n ，
數列{an}的通項公式an=2n；
（Ⅱ∵）f（x）=（ ）x ， f（bn+1）= ，（n∈N*），
∴ = ，
∴ = ，即bn+1=bn+3，
∴bn+1﹣bn=3，
b1=f（﹣1）=2，
∴數列{bn}是以2為首項，3為公差的等差數列，
∴bn=3n﹣1，
cn= = ，
∴Tn= + + +…+ + ，
Tn= + + +…+ + ，
兩式相減得： Tn=1+ + + +…+ ﹣ ，
=1+ × ﹣ ，
=1+ （1﹣ ）﹣ ，
∴Tn=2+3（1﹣ ）﹣ ，
=2+3 ﹣ ，
∴Tn=5
【解析】（Ⅰ）由當n=1，a1=2，當n≥2時，Sn﹣1=2an﹣1﹣2，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1 ， 可知an=2an﹣1 ， 數列{an}是以2為首項，2為公比的等比數列，數列{an}的通項公式an=2n；（Ⅱ）f（bn+1）= ，（n∈N*），代入即可求得bn+1=bn+3，b1=f（﹣1）=2，數列{bn}是以2為首項，3為公差的等差數列，cn= = ，利用“錯位相減法”即可求得，數列{cn}的前n項和Tn ．
【考點精析】通過靈活運用數列的前n項和和數列的通項公式，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式即可以解答此題．