Question

【題目】已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)距離為3，過(guò)拋物線外一動(dòng)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，且切點(diǎn)弦恒過(guò)點(diǎn).

（1）求和；

（2）求證：動(dòng)點(diǎn)在一條定直線上運(yùn)動(dòng).

Answer 1

【答案】（1），.（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義求得，由此求得拋物線方程，將的坐標(biāo)代入拋物線方程，由此求得.

（2）設(shè)出的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的切線方程求得直線的方程，將的坐標(biāo)代入直線的方程，由此求得直線的方程，將點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的方程，由此判斷出動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng).

（1）由題意得

拋物線方程為，∴，

（2）首先推導(dǎo)拋物線切線方程的一般性：設(shè)拋物線上的一點(diǎn)為，由，所以拋物線過(guò)點(diǎn)的切線的斜率為，切線方程為，化簡(jiǎn)得.

設(shè)

∴拋物線的切線的方程：

拋物線的切線的方程：

∵均經(jīng)過(guò)，∴

故直線即過(guò)，也過(guò)

故方程：

∵它恒過(guò)，∴，∴它在上運(yùn)動(dòng).