Question

【題目】已知函數(shù)， 為函數(shù)的極值點.

（1）證明：當(dāng)時， ；

（2）對于任意，都存在，使得，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1

【解析】試題分析：（1）求出，由，可得， ，等價于當(dāng)時， 恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得，從而可得結(jié)果；（2）令，可得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得的最小值為，即的最小值為.

試題解析：（1），∴，

又∵為極值點， ，∴，

經(jīng)檢驗符合題意，所以，

當(dāng)時， ，可轉(zhuǎn)化為當(dāng)時， 恒成立，

設(shè)，所以，

當(dāng)時， ，所以在上為減函數(shù)，所以，

故當(dāng)時， 成立.

（2）令，則，

解得，

同理，由，可得，

因為，又，所以，

令，

則，易知，

當(dāng)時， ，當(dāng)時， ，

即當(dāng)時， 是減函數(shù)，當(dāng)時， 是增函數(shù)，

所以的最小值為，即的最小值為.