Question

一緝私艇發(fā)現(xiàn)在方位角（從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角）45°方向，距離15 海里的海面上有一走私船正以25 海里/小時(shí)的速度沿方位角為105°的方向逃竄．若緝私艇的速度為35 海里/小時(shí)，緝私艇沿方位角為45°+α的方向追去，若要在最短時(shí)間內(nèi)追上該走私船．
（1）求角α的正弦值；
（2）求緝私艇追上走私船所需的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）設(shè)緝私艇追上走私船所需的時(shí)間為t小時(shí)，在△ABC中利用正弦定理可求；
（2）在△ABC中利用余弦定理可求追擊所需的時(shí)間，解方程24t²-15t-9=0可得．

解答：解：（1）設(shè)緝私艇追上走私船所需的時(shí)間為t小時(shí)，則有|BC|=25t，|AB|=35t，且∠CAB=α，∠ACB=120°，
根據(jù)正弦定理得：

|BC|

sinα

=

|AB|

sin1200

，即

25t

sinα

=

35t

3 2

，∴sinα=

5 3

14

．
（Ⅱ）在△ABC中由余弦定理得：|AB|²=|AC|²+|BC|²-2|AC||BC|cos∠ACB，即 （35t）²=15²+（25t）²-2•15•25t•cos120°，
即24t²-15t-9=0，解之得：t=1或t=-

9

24

（舍）
故緝私艇追上走私船需要1個(gè)小時(shí)的時(shí)間．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正余弦定理在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用，關(guān)鍵是構(gòu)建三角形，尋找邊角關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．