Question

已知拋物線y²=8x的焦點(diǎn)F到雙曲線C：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）漸近線的距離為

4 5

5

，點(diǎn)P是拋物線y²=8x上的一動(dòng)點(diǎn)，P到雙曲線C的上焦點(diǎn)F₁（0，c）的距離與到直線x=-2的距離之和的最小值為3，則該雙曲線的方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì),雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，雙曲線的漸近線方程，進(jìn)而可得b=2a，再利用拋物線的定義，結(jié)合P到雙曲線C的上焦點(diǎn)F₁（0，c）的距離與到直線x=-2的距離之和的最小值為3，可得FF₁=3，從而可求雙曲線的幾何量，從而可得結(jié)論．

解答： 解：拋物線y²=8x的焦點(diǎn)F（2，0），雙曲線C：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）一條漸近線的方程為ax-by=0，
∵拋物線y²=8x的焦點(diǎn)F到雙曲線C：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）漸近線的距離為

4 5

5

，
∴

2a

a2+b2

=

4 5

5

，
∴b=2a，
∵P到雙曲線C的上焦點(diǎn)F₁（0，c）的距離與到直線x=-2的距離之和的最小值為3，
∴FF₁=3，
∴c²+4=9，
∴c=

5

，
∵c²=a²+b²，b=2a，
∴a=1，b=2，
∴雙曲線的方程為

y2

4

-x2=1．
故答案為：

y2

4

-x2=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線、雙曲線的幾何性質(zhì)，考查拋物線的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．