Question

如圖所示，O是線段AB的中點(diǎn)，|AB|＝2c，以點(diǎn)A為圓心，2a為半徑作一圓，其中。

（1）若圓A外的動點(diǎn)P到B的距離等于它到圓周的最短距離，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求動點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線；
（2）經(jīng)過點(diǎn)O的直線l與直線AB成60°角，當(dāng)c＝2，a＝1時(shí)，動點(diǎn)P的軌跡記為E，設(shè)過點(diǎn)B的直線m交曲線E于M、N兩點(diǎn)，且點(diǎn)M在直線AB的上方，求點(diǎn)M到直線l的距離d的取值范圍。

Answer 1

軌跡方程為：。
（2）

（1）以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A（－c，0），B（c，0）
依題意：
∴點(diǎn)P的軌跡為以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)半軸為a，虛半軸為的雙曲線右支
∴軌跡方程為：。
（2）法一：設(shè)M（，），N（，）
依題意知曲線E的方程為
，l的方程為
設(shè)直線m的方程為
由方程組，消去y得
                   ①
∴
∵直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)
∴及，從而
由①得
解得且
當(dāng)x＝2時(shí)，直線m垂直于x軸，符合條件，∴
又設(shè)M到l的距離為d，則
∵
∴
設(shè)，
由于函數(shù)與均為區(qū)間的增函數(shù)
∴在單調(diào)遞減
∴的最大值＝
又∵
而M的橫坐標(biāo)，∴
法二：為一條漸近線
①m位于時(shí)，m在無窮遠(yuǎn)，此時(shí)
②m位于時(shí)，，d較大
由
點(diǎn)M 
∴
故